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累加过一

均匀分布最后值期望

专题
Statistics / 统计
难度
L4

题目详情

统计题：累加过 1：最后一个 XNX_N 的期望。

英文原题

Let X1,X2,X3,…X_{1},X_{2},X_{3},\ldots be independent random variables with uniform distribution on [0, 1]. Let NN be the smallest integer for which X1+X2+⋯+XN>1X_{1} + X_{2} + \dots +X_{N} > 1 . Evaluate

E[XN]\mathbb{E}\left[X_N\right] .

解析

沿用 Xi∼iidUnif[0,1]X_i\overset{iid}{\sim}\mathrm{Unif}[0,1]，N=min⁡{k:Sk>1}N=\min\{k:S_k>1\}。

对每个 k≥1k\ge 1，事件 {N=k+1}\{N=k+1\} 等价于 Sk<1S_k<1 且 Xk+1>1−SkX_{k+1}>1-S_k。对 Sk=t∈[0,1]S_k=t\in[0,1] 条件化，有

E[Xk+11Xk+1>1−t]=∫1−t1s ds=t(2−t)2.\mathbb{E}\bigl[X_{k+1}\mathbf{1}_{X_{k+1}>1-t}\bigr]=\int_{1-t}^1 s\,ds=\frac{t(2-t)}{2}.

又 SkS_k 在 [0,1][0,1] 上的分布满足 P(Sk≤t)=tk/k!\mathbb{P}(S_k\le t)=t^k/k!，于是可换序求和化简为

E[XN]=∫01t(2−t)2et dt=2−e2.\mathbb{E}[X_N]=\int_0^1 \frac{t(2-t)}{2}e^{t}\,dt=\boxed{2-\frac{e}{2}}.

英文解析

E[Xk+11Xk+1>1−t]=∫1−t1s ds=t(2−t)2.\mathbb{E}\bigl[X_{k+1}\mathbf{1}_{X_{k+1}>1-t}\bigr]=\int_{1-t}^1 s\,ds=\frac{t(2-t)}{2}. E[XN]=∫01t(2−t)2et dt=2−e2.\mathbb{E}[X_N]=\int_0^1 \frac{t(2-t)}{2}e^{t}\,dt=\boxed{2-\frac{e}{2}}.