均匀随机变量累加过 1：期望轮数

均匀分布个数期望

专题: General / 综合
难度: L4
来源: QuantQuestion

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Let $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots$ be independent random variables with uniform distribution on [0, 1]. Let $N$ be the smallest integer for which $X_{1} + X_{2} + \dots + X_{N} > 1$ . Evaluate $\mathbb{E}[N]$ .

解析

令 $X_i\overset{iid}{\sim}\mathrm{Unif}[0,1]$ ， $N=\min\{k: S_k>1\}$ ，其中 $S_k=\sum_{i=1}^k X_i$ 。

利用尾和公式

\mathbb{E}[N]=\sum_{k\ge 0}\mathbb{P}(N>k)=1+1+\sum_{k=2}^{\infty}\mathbb{P}(S_k\le 1).

而 $\mathbb{P}(S_k\le 1)$ 等于单纯形体积，

\mathbb{P}(S_k\le 1)=\frac{1}{k!}.

所以

\boxed{\mathbb{E}[N]=1+1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}=e}.