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球坐标方差

Spherical Coordinate Variance

专题
Statistics / 统计
难度
L6

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在单位球体上随机选择一个坐标（x，y，z）‌‌‌‌‍‌‌‍‌‌‍‌‍‍‌‍‍‌‌。 z 坐标的方差是多少？

英文原题

Randomly chose a coordinate (x, y, z) on the unit sphere‌‌‌‌‍‌‌‍‌‌‍‌‍‍‌‍‍‌‌. What is the variance of the z-coordinate?

解析

使用方差方程我们得到：
Var(z)=E[z2]−E[z]2\begin{equation*} Var(z) = E[z^2] - E[z]^2 \end{equation*}
我们知道单位球面的方程为：
x2+y2+z2=1\begin{equation*} x^2+y^2+z^2=1 \end{equation*}
由于坐标是统一且独立选择的，因此 z2z^2 组件将占据其中的大约三分之一。因此：
E[z2]=13\begin{equation*} E[z^2] = \frac13 \end{equation*}
为了找到 E[z]E[z]，我们可以想象单位球体。所有坐标的平均值将位于 (0,0,0)(0, 0, 0) 的正中心，这就是我们期望的 z 值。因此：
Var(z)=13−02=13\begin{equation*} Var(z) = \frac13 - 0^2 = \boxed{\frac13} \end{equation*}

英文解析

Using the variance equation we get:
Var(z)=E[z2]−E[z]2\begin{equation*} Var(z) = E[z^2] - E[z]^2 \end{equation*}

We know the equation of a the unit sphere is:
x2+y2+z2=1\begin{equation*} x^2+y^2+z^2=1 \end{equation*}
Since coordinates are uniformly and independently selected, the z2z^2 component will make roughly a third of this. Hence:
E[z2]=13\begin{equation*} E[z^2] = \frac13 \end{equation*}

To find E[z]E[z] we can imagine the unit sphere. The average of all coordinates will be in the exact center at (0,0,0)(0, 0, 0), giving us our expected value of z. Therefore:

Var(z)=13−02=13\begin{equation*} Var(z) = \frac13 - 0^2 = \boxed{\frac13} \end{equation*}