极限：limn→∞E[X1X2⋯Xn]\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[X_1X_2\cdots X_n]limn→∞E[X1X2⋯Xn] 期望极限计算 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Let X1∼U(0,1),X2∼U(X1,1),X3∼U(X2,1),…,Xn∼U(Xn−1,1)X_{1} \sim U(0,1), X_{2} \sim U(X_{1},1), X_{3} \sim U(X_{2},1), \ldots , X_{n} \sim U(X_{n - 1},1)X1∼U(0,1),X2∼U(X1,1),X3∼U(X2,1),…,Xn∼U(Xn−1,1) . Evaluate limn→∞E[X1X2…Xn]\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[X_{1} X_{2} \dots X_{n}\right]n→∞limE[X1X2…Xn] 解析 记 Yk=∏i=1kZiY_k=\prod_{i=1}^k Z_iYk=∏i=1kZi（Zi∼U(0,1)Z_i\sim U(0,1)Zi∼U(0,1) 独立），则 Xk=1−YkX_k=1-Y_kXk=1−Yk，要求 limE[∏k=1n(1−Yk)]\lim\mathbb{E}[\prod_{k=1}^n(1-Y_k)]limE[∏k=1n(1−Yk)]。 设 f(t)=limn→∞E[∏k=1n(1−tYk)]f(t)=\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[\prod_{k=1}^n(1-tY_k)]f(t)=limn→∞E[∏k=1n(1−tYk)]，可得到积分方程 f(t)=1t∫0t(1−x)f(x)dx.f(t)=\frac{1}{t}\int_0^t (1-x)f(x)dx.f(t)=t1∫0t(1−x)f(x)dx. 解得 f(t)=e−tf(t)=e^{-t}f(t)=e−t（由 f(0)=1f(0)=1f(0)=1）。因此 limn→∞E[X1⋯Xn]=f(1)=e−1.\boxed{\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[X_1\cdots X_n]=f(1)=e^{-1}}.n→∞limE[X1⋯Xn]=f(1)=e−1.