XnX_nXn 的密度：Xk∼U(Xk−1,1)X_{k}\sim U(X_{k-1},1)Xk∼U(Xk−1,1) Probability density function 专题 Probability / 概率 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Let X1∼U(0,1),X2∼U(X1,1),X3∼U(X2,1),…,Xn∼U(Xn−1,1)X_{1} \sim U(0,1), X_{2} \sim U\left(X_{1},1\right), X_{3} \sim U\left(X_{2},1\right), \ldots , X_{n} \sim U\left(X_{n - 1},1\right)X1∼U(0,1),X2∼U(X1,1),X3∼U(X2,1),…,Xn∼U(Xn−1,1) . What is the probability density function of XnX_{n}Xn ? 解析 令 Yk=1−XkY_k=1-X_kYk=1−Xk，则 Yk+1=U(0,Yk)Y_{k+1}=U(0,Y_k)Yk+1=U(0,Yk)，可表示为 Yn=∏i=1nZiY_n=\prod_{i=1}^n Z_iYn=∏i=1nZi，其中 Zi∼U(0,1)Z_i\sim U(0,1)Zi∼U(0,1) 独立。 已知 YnY_nYn 的密度为 fYn(y)=(−lny)n−1(n−1)!,0<y<1.f_{Y_n}(y)=\frac{(-\ln y)^{n-1}}{(n-1)!},\quad 0<y<1.fYn(y)=(n−1)!(−lny)n−1,0<y<1. 因此 fXn(x)=(−ln(1−x))n−1(n−1)!,0<x<1.\boxed{f_{X_n}(x)=\frac{\bigl(-\ln(1-x)\bigr)^{n-1}}{(n-1)!}},\quad 0<x<1.fXn(x)=(n−1)!(−ln(1−x))n−1,0<x<1.