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的密度：

Probability density function

专题
Probability / 概率
难度
L4

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概率题：XnX_n 的密度：Xk∼U(Xk−1,1)X_{k}\sim U(X_{k-1},1)。

英文原题

Let X1∼U(0,1),X2∼U(X1,1),X3∼U(X2,1),…,Xn∼U(Xn−1,1)X_{1} \sim U(0,1), X_{2} \sim U\left(X_{1},1\right), X_{3} \sim U\left(X_{2},1\right), \ldots , X_{n} \sim U\left(X_{n - 1},1\right) . What is the probability density function of XnX_{n} ?

解析

令 Yk=1−XkY_k=1-X_k，则 Yk+1=U(0,Yk)Y_{k+1}=U(0,Y_k)，可表示为 Yn=∏i=1nZiY_n=\prod_{i=1}^n Z_i，其中 Zi∼U(0,1)Z_i\sim U(0,1) 独立。

已知 YnY_n 的密度为

fYn(y)=(−ln⁡y)n−1(n−1)!,0<y<1.f_{Y_n}(y)=\frac{(-\ln y)^{n-1}}{(n-1)!},\quad 0<y<1.

因此

fXn(x)=(−ln⁡(1−x))n−1(n−1)!,0<x<1.\boxed{f_{X_n}(x)=\frac{\bigl(-\ln(1-x)\bigr)^{n-1}}{(n-1)!}},\quad 0<x<1.

英文解析

fYn(y)=(−ln⁡y)n−1(n−1)!,0<y<1.f_{Y_n}(y)=\frac{(-\ln y)^{n-1}}{(n-1)!},\quad 0<y<1. fXn(x)=(−ln⁡(1−x))n−1(n−1)!,0<x<1.\boxed{f_{X_n}(x)=\frac{\bigl(-\ln(1-x)\bigr)^{n-1}}{(n-1)!}},\quad 0<x<1.