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随机变量分布

Find the distribution of the random variable

专题
General / 综合
难度
L4

题目详情

量化面试题：求 (XY)Z(XY)^Z 的分布。

英文原题

Let X,Y,X,Y, and ZZ be independent random variables with uniform distribution on [0, 1]. Find the distribution of the random variable (XY)Z(XY)^Z

解析

对 0≤t≤10\le t\le 1：

F(t)=P((XY)Z≤t)=∫01P(XY≤t1/z)dz.F(t)=\mathbb{P}((XY)^Z\le t)=\int_0^1\mathbb{P}(XY\le t^{1/z})dz.

已知 P(XY≤α)=α−αln⁡α\mathbb{P}(XY\le \alpha)=\alpha-\alpha\ln\alpha（0<α<10<\alpha<1）。代入并化简可得

F(t)=t,F(t)=t,

所以

(XY)Z∼U(0,1).\boxed{(XY)^Z\sim U(0,1)}.

英文解析

F(t)=P((XY)Z≤t)=∫01P(XY≤t1/z)dz.F(t)=\mathbb{P}((XY)^Z\le t)=\int_0^1\mathbb{P}(XY\le t^{1/z})dz. F(t)=t,F(t)=t, (XY)Z∼U(0,1).\boxed{(XY)^Z\sim U(0,1)}.