求 $(XY)^Z$ 的分布

Find the distribution of the random variable

Let $X,Y,$ and $Z$ be independent random variables with uniform distribution on [0, 1]. Find the distribution of the random variable $(XY)^Z$

解析

对 $0\le t\le 1$ ：

F(t)=\mathbb{P}((XY)^Z\le t)=\int_0^1\mathbb{P}(XY\le t^{1/z})dz.

已知 $\mathbb{P}(XY\le \alpha)=\alpha-\alpha\ln\alpha$ （ $0<\alpha<1$ ）。代入并化简可得

F(t)=t,

所以

\boxed{(XY)^Z\sim U(0,1)}.