Gram-Schmidt 正交化

内积为 $\langle p,q\rangle=\int_0^1 p(x)q(x)dx$。

1. 取 $e_0(x)=1$（因为 $\|1\|^2=\int_0^1 1dx=1$）。

2. $u_1=x-\langle x,1\rangle\cdot 1=x-\int_0^1 xdx=x-\tfrac12$，且

$$\|u_1\|^2=\int_0^1 (x-\tfrac12)^2 dx=\frac{1}{12},$$

所以

$$e_1(x)=\frac{u_1}{\|u_1\|}=2\sqrt3\,(x-\tfrac12).$$

3. 先减去在 $1$ 上的投影：$x^2-\langle x^2,1\rangle\cdot 1=x^2-\tfrac13$。

再减去在 $u_1$ 上的投影：

$$\frac{\langle x^2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1,$$

其中 $\langle x^2,u_1\rangle=\int_0^1 x^2(x-\tfrac12)dx=\tfrac{1}{12}$，$\langle u_1,u_1\rangle=\tfrac{1}{12}$，比例为 1。

因此

$$u_2=x^2-\tfrac13-(x-\tfrac12)=x^2-x+\tfrac16,$$

且

$$\|u_2\|^2=\int_0^1 (x^2-x+\tfrac16)^2 dx=\frac{1}{180}.$$

所以

$$e_2(x)=\frac{u_2}{\|u_2\|}=6\sqrt5\,(x^2-x+\tfrac16).$$

最终一组正交规范基为

$$\boxed{\left\{1,\ 2\sqrt3\,(x-\tfrac12),\ 6\sqrt5\,(x^2-x+\tfrac16)\right\}}.$$

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英文解析

$$\|u_1\|^2=\int_0^1 (x-\tfrac12)^2 dx=\frac{1}{12},$$ $$e_1(x)=\frac{u_1}{\|u_1\|}=2\sqrt3\,(x-\tfrac12).$$ $$\frac{\langle x^2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1,$$ $$u_2=x^2-\tfrac13-(x-\tfrac12)=x^2-x+\tfrac16,$$ $$\|u_2\|^2=\int_0^1 (x^2-x+\tfrac16)^2 dx=\frac{1}{180}.$$ $$e_2(x)=\frac{u_2}{\|u_2\|}=6\sqrt5\,(x^2-x+\tfrac16).$$ $$\boxed{\left\{1,\ 2\sqrt3\,(x-\tfrac12),\ 6\sqrt5\,(x^2-x+\tfrac16)\right\}}.$$