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Gram-Schmidt：{1,x,x2}\{1,x,x^2\} 的正交规范基

标准正交基

专题
General / 综合
难度
L4

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On P2(R)P_{2}(R) . Consider the inner product given by

<p,q>=∫01p(x)q(x)dx< p,q> = \int_0^1 p(x)q(x)dx

Apply the Gram- Schmidt procedure to the basis (1,x,x2)(1,x,x^2) to produce an orthonommal basis of P2(R)P_{2}(R)

解析

内积为 ⟨p,q⟩=∫01p(x)q(x)dx\langle p,q\rangle=\int_0^1 p(x)q(x)dx。

  1. 取 e0(x)=1e_0(x)=1（因为 ∥1∥2=∫011dx=1\|1\|^2=\int_0^1 1dx=1）。

  2. u1=x−⟨x,1⟩⋅1=x−∫01xdx=x−12u_1=x-\langle x,1\rangle\cdot 1=x-\int_0^1 xdx=x-\tfrac12，且

∥u1∥2=∫01(x−12)2dx=112,\|u_1\|^2=\int_0^1 (x-\tfrac12)^2 dx=\frac{1}{12},

所以

e1(x)=u1∥u1∥=23 (x−12).e_1(x)=\frac{u_1}{\|u_1\|}=2\sqrt3\,(x-\tfrac12).
  1. 先减去在 11 上的投影：x2−⟨x2,1⟩⋅1=x2−13x^2-\langle x^2,1\rangle\cdot 1=x^2-\tfrac13。

再减去在 u1u_1 上的投影：

⟨x2,u1⟩⟨u1,u1⟩u1,\frac{\langle x^2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1,

其中 ⟨x2,u1⟩=∫01x2(x−12)dx=112\langle x^2,u_1\rangle=\int_0^1 x^2(x-\tfrac12)dx=\tfrac{1}{12}，⟨u1,u1⟩=112\langle u_1,u_1\rangle=\tfrac{1}{12}，比例为 1。

因此

u2=x2−13−(x−12)=x2−x+16,u_2=x^2-\tfrac13-(x-\tfrac12)=x^2-x+\tfrac16,

且

∥u2∥2=∫01(x2−x+16)2dx=1180.\|u_2\|^2=\int_0^1 (x^2-x+\tfrac16)^2 dx=\frac{1}{180}.

所以

e2(x)=u2∥u2∥=65 (x2−x+16).e_2(x)=\frac{u_2}{\|u_2\|}=6\sqrt5\,(x^2-x+\tfrac16).

最终一组正交规范基为

{1, 23 (x−12), 65 (x2−x+16)}.\boxed{\left\{1,\ 2\sqrt3\,(x-\tfrac12),\ 6\sqrt5\,(x^2-x+\tfrac16)\right\}}.