证明乘积为偶数

若存在某个 $i$ 使得 $A_i$ 与 $i$ 同奇偶，则 $A_i-i$ 为偶数，从而整个乘积为偶数。

反证：假设对所有 $i$，$A_i$ 与 $i$ 奇偶相反。

当 $n$ 为奇数时，$\{1,\ldots,n\}$ 中奇数有 $(n+1)/2$ 个、偶数有 $(n-1)/2$ 个。

若每个奇数位置 $i$ 都对应偶数 $A_i$，则需要 $(n+1)/2$ 个偶数值，但集合中偶数只有 $(n-1)/2$ 个，矛盾。

因此必存在 $i$ 使 $A_i$ 与 $i$ 同奇偶，故对应因子为偶数，乘积为偶数。