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等相关范围

λ\lambda 的限制

专题
General / 综合
难度
L4

题目详情

量化面试题：等相关系数 λ\lambda 的范围。

英文原题

You have n r.v., each of them have correlation lambda. What is the restriction for lambda.

解析

相关矩阵为等相关矩阵

Σ=(1−λ)I+λJ,\Sigma=(1-\lambda)I+\lambda J,

其特征值为 1−λ1-\lambda（重数 n−1n-1）与 1+(n−1)λ1+(n-1)\lambda（重数 1）。

半正定要求两者非负：

1−λ≥0⇒λ≤1,qquad1+(n−1)λ≥0⇒λ≥−1n−1.1-\lambda\ge 0\Rightarrow \lambda\le 1,\\qquad 1+(n-1)\lambda\ge 0\Rightarrow \lambda\ge -\frac{1}{n-1}.

因此

−1n−1≤λ≤1.\boxed{-\frac{1}{n-1}\le \lambda\le 1}.

英文解析

Σ=(1−λ)I+λJ,\Sigma=(1-\lambda)I+\lambda J, 1−λ≥0⇒λ≤1,qquad1+(n−1)λ≥0⇒λ≥−1n−1.1-\lambda\ge 0\Rightarrow \lambda\le 1,\\qquad 1+(n-1)\lambda\ge 0\Rightarrow \lambda\ge -\frac{1}{n-1}. −1n−1≤λ≤1.\boxed{-\frac{1}{n-1}\le \lambda\le 1}.