等相关系数 $\lambda$ 的范围

$\lambda$ 的限制

You have n r.v., each of them have correlation lambda. What is the restriction for lambda.

解析

相关矩阵为等相关矩阵

\Sigma=(1-\lambda)I+\lambda J,

其特征值为 $1-\lambda$ （重数 $n-1$ ）与 $1+(n-1)\lambda$ （重数 1）。

半正定要求两者非负：

1-\lambda\ge 0\Rightarrow \lambda\le 1,\qquad 1+(n-1)\lambda\ge 0\Rightarrow \lambda\ge -\frac{1}{n-1}.

因此

\boxed{-\frac{1}{n-1}\le \lambda\le 1}.