方程 $x^n-y^n=2^{100}$（$n>1$）的

先看 $n=2$：

$$(x-y)(x+y)=2^{100}.$$

设 $x-y=2^a,\ x+y=2^b$，则

$$a+b=100,\ b>a,\ a\ge 1$$

（$a=0$ 时 $x,y$ 不为整数；$b>a$ 保证 $y>0$）。

所以 $a=1,2,\ldots,49$，共 49 组，且每组对应唯一正整数 $(x,y)$。

再证 $n>2$ 无解：

• 若 $n$ 为奇数， $$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}).$$ 第二因子为大于 1 的奇数（在可行奇偶下），不可能使整体为纯 2 的幂。

• 若 $n=2m,\ m>1$，令 $u=x^m,v=y^m$，则 $$u^2-v^2=2^{100}.$$ 即 $(u-v)(u+v)=2^{100}$，两因子均为 2 的幂。于是可写 $$u=2^{a-1}(2^d+1),\ v=2^{a-1}(2^d-1).$$ 因为 $u,v$ 都是 $m$ 次幂且 $m>1$，可推出 $2^d-1$ 与 $2^d+1$ 都应为 $m$ 次幂，但它们相差 2，不可能同时是大于 1 的同次幂（Catalan 型结论），矛盾。

故只有 $n=2$ 有解，总解数为

$$\boxed{49}.$$