完全平方判定

设 $n=\prod p_i^{\alpha_i}$，则

$$n^n=\prod p_i^{n\alpha_i}.$$

要成为完全平方，所有指数 $n\alpha_i$ 必须为偶数。

• 若 $n$ 为偶数，则任意 $\alpha_i$ 都有 $n\alpha_i$ 为偶数，恒成立。
• 若 $n$ 为奇数，则需每个 $\alpha_i$ 都为偶数，即 $n$ 本身是完全平方数。

因此符合条件的 $n$ = “所有偶数” + “奇完全平方数”。

• 区间 $[100,400]$ 内偶数个数：
  $$\frac{400-100}{2}+1=151.$$
• 区间内奇平方数：$11^2,13^2,15^2,17^2,19^2$，共 5 个。

总数

$$151+5=\boxed{156}.$$

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英文解析

Let $n=\prod p_i^{\alpha_i}$. Then

$$n^n=\prod p_i^{n\alpha_i}.$$

For $n^n$ to be a perfect square, all exponents $n\alpha_i$ must be even.

• If $n$ is even, then for any $\alpha_i$, $n\alpha_i$is even, which always holds.
• If $n$ is odd, then each $\alpha_i$ must be even, meaning $n$ itself is a perfect square.

Thus, the qualifying $n$ are "all even numbers" plus "odd perfect squares".

• Number of even numbers in the interval $[100,400]$:
  $$\frac{400-100}{2}+1=151.$$
• Number of odd perfect squares in the interval: $11^2,13^2,15^2,17^2,19^2$, totaling 5.

The total count is

$$151+5=\boxed{156}.$$