区间 [100,400] 内使 $n^n$ 为完全平方数

设 $n=\prod p_i^{\alpha_i}$，则

$$n^n=\prod p_i^{n\alpha_i}.$$

要成为完全平方，所有指数 $n\alpha_i$ 必须为偶数。

• 若 $n$ 为偶数，则任意 $\alpha_i$ 都有 $n\alpha_i$ 为偶数，恒成立。
• 若 $n$ 为奇数，则需每个 $\alpha_i$ 都为偶数，即 $n$ 本身是完全平方数。

因此符合条件的 $n$ = “所有偶数” + “奇完全平方数”。

• 区间 $[100,400]$ 内偶数个数： $$\frac{400-100}{2}+1=151.$$
• 区间内奇平方数：$11^2,13^2,15^2,17^2,19^2$，共 5 个。

总数

$$151+5=\boxed{156}.$$