比较两种线性回归模型

Compare the linear regression models

比较以下两个线性回归模型中的系数 $\beta_1$ 与 $\beta$ ：

y=\beta x+e,

y=\beta_1 x+\beta_2 z+e.

Compare $\beta_1$ and $\beta$ in the linear regression models $y = \beta x + e$ and $y = \beta_1 x + \beta_2 z + e$ .

解析

把第二个“真模型”写为

y=\beta_1 x+\beta_2 z+e,

若在估计时遗漏了 $z$ ，回归 $y$ 对 $x$ 得到的系数为

\beta=\beta_1+\beta_2\frac{\operatorname{Cov}(x,z)}{\operatorname{Var}(x)}

（假设 $\operatorname{Var}(x)>0$ ）。

因此二者差异是遗漏变量偏差：

\beta-\beta_1=\beta_2\frac{\operatorname{Cov}(x,z)}{\operatorname{Var}(x)}.

仅当 $\beta_2=0$ 或 $\operatorname{Cov}(x,z)=0$ 时，才有 $\beta=\beta_1$ 。