比较两种线性回归模型

把第二个“真模型”写为

$$y=\beta_1 x+\beta_2 z+e,$$

若在估计时遗漏了 $z$，回归 $y$ 对 $x$ 得到的系数为

$$\beta=\beta_1+\beta_2\frac{\operatorname{Cov}(x,z)}{\operatorname{Var}(x)}$$

（假设 $\operatorname{Var}(x)>0$）。

因此二者差异是遗漏变量偏差：

$$\beta-\beta_1=\beta_2\frac{\operatorname{Cov}(x,z)}{\operatorname{Var}(x)}.$$

仅当 $\beta_2=0$ 或 $\operatorname{Cov}(x,z)=0$ 时，才有 $\beta=\beta_1$。

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英文解析

Write the second “true model” as

$$y=\beta_1 x+\beta_2 z+e,$$

If $z$ is omitted from the estimate, the coefficient obtained for returning $y$ to $x$ is

$$\beta=\beta_1+\beta_2\frac{\operatorname{Cov}(x,z)}{\operatorname{Var}(x)}$$

(Let's say $\operatorname{Var}(x)>0$).

So the difference between the two is the missing variable bias:

$$\beta-\beta_1=\beta_2\frac{\operatorname{Cov}(x,z)}{\operatorname{Var}(x)}.$$

$\beta=\beta_1$ is only available when$\beta_2=0$ or$\operatorname{Cov}(x,z)=0$.