和超阈 III

Sum Exceedance III

设 $X_1,X_2,\dots\sim\mathrm{Unif}(0,1)$ 独立同分布，

N_1=\min\{n:X_1+\cdots+X_n>1\},\quad S_n=X_1+\cdots+X_n.

求 $\mathbb{E}[S_{N_1}]$ 。已知答案可写为 $ce$ （ $c$ 为有理数），求 $c$ 。

Define $X_1, X_2, \dots \sim \text{Unif}(0,1)$ IID

$N_1 = \text{min}\{n : X_1 + \dots + X_n > 1\}$ , and

$S_n = X_1 + \dots + X_n$ . Compute $\mathbb{E}[S_{N_1}]$ . The answer will be in the form $ce$ for a rational number $c$ . Find $c$ .

解析

设当前部分和为 $x\in[0,1)$ 时，最终和的期望为 $f(x)$ 。

下一次加上 $Y\sim\mathrm{Unif}(0,1)$ ：若 $x+Y>1$ 则结束并取 $x+Y$ ；否则进入状态 $x+Y$ 。于是

f(x)=\int_0^{1-x} f(x+y)\,dy+\int_{1-x}^1 (x+y)\,dy.

对该积分方程求解可得

f(0)=\frac{e}{2}.

因此

\mathbb{E}[S_{N_1}]=\frac{e}{2}=\left(\frac12\right)e,

故 $c=\boxed{\frac12}$ 。