和超阈 III

设当前部分和为 $x\in[0,1)$ 时，最终和的期望为 $f(x)$。

下一次加上 $Y\sim\mathrm{Unif}(0,1)$：若 $x+Y>1$ 则结束并取 $x+Y$；否则进入状态 $x+Y$。于是

$$f(x)=\int_0^{1-x} f(x+y)\,dy+\int_{1-x}^1 (x+y)\,dy.$$

对该积分方程求解可得

$$f(0)=\frac{e}{2}.$$

因此

$$\mathbb{E}[S_{N_1}]=\frac{e}{2}=\left(\frac12\right)e,$$

故 $c=\boxed{\frac12}$。

---

英文解析

If the current section and are $x\in[0,1)$, the final and are expected to be $f(x)$.

Next add $Y\sim\mathrm{Unif}(0,1)$: end with $x+Y$if $x+Y>1$; otherwise enter status $x+Y$.

$$f(x)=\int_0^{1-x} f(x+y)\,dy+\int_{1-x}^1 (x+y)\,dy.$$

The integral equation can be solved

$$f(0)=\frac{e}{2}.$$

Therefore,

$$\mathbb{E}[S_{N_1}]=\frac{e}{2}=\left(\frac12\right)e,$$

So $c=\boxed{\frac12}$.