和超阈 II

这是均匀更新过程。记

$$m(t)=\mathbb{E}[N_t],\quad N_t=\min\{n:S_n>t\}.$$

可得更新方程（$t\ge 0$）：

$$m'(t)=m(t)-m(t-1),$$

并配合初值区间 $0\le t\le 1$ 上 $m(t)=e^t$。

对 $1\le t\le 2$ 解该方程，得到

$$m(t)=e^t-e^{t-1}(t-1).$$

代入 $t=2$：

$$\mathbb{E}[N_2]=m(2)=e^2-e.$$

因此 $a=1,b=-1$，$a+b=\boxed{0}$。

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英文解析

This is a uniform update process. Remember

$$m(t)=\mathbb{E}[N_t],\quad N_t=\min\{n:S_n>t\}.$$

Updatable equation ($t\ge 0$):

$$m'(t)=m(t)-m(t-1),$$

And with the initial value interval $m(t)=e^t$ on $0\le t\le 1$.

Solve the equation for $1\le t\le 2$ and get

$$m(t)=e^t-e^{t-1}(t-1).$$

Replace with $t=2$:

$$\mathbb{E}[N_2]=m(2)=e^2-e.$$

So $a=1,b=-1$, $a+b=\boxed{0}$.