和超阈 II

Sum Exceedance II

专题: Probability / 概率
难度: L6
来源: QuantQuestion

题目详情

设 $X_1,X_2,\dots\sim\mathrm{Unif}(0,1)$ 独立同分布，

N_2=\min\{n:X_1+\cdots+X_n>2\}.

求 $\mathbb{E}[N_2]$ 。已知答案可写为 $ae^2+be$ （ $a,b$ 为整数），求 $a+b$ 。

Let $X_1, X_2, \dots \sim \text{Unif}(0,1)$ IID and $N_2 = \text{min}\{n : X_1 + \dots + X_n > 2\}$ . Find $\mathbb{E}[N_2]$ . Your answer will be in the form $ae^2 + be$ for integers $a$ and $b$ . $e$ here is Euler's constant. Find $a + b$ .

解析

这是均匀更新过程。记

m(t)=\mathbb{E}[N_t],\quad N_t=\min\{n:S_n>t\}.

可得更新方程（ $t\ge 0$ ）：

m'(t)=m(t)-m(t-1),

并配合初值区间 $0\le t\le 1$ 上 $m(t)=e^t$ 。

对 $1\le t\le 2$ 解该方程，得到

m(t)=e^t-e^{t-1}(t-1).

代入 $t=2$ ：

\mathbb{E}[N_2]=m(2)=e^2-e.

因此 $a=1,b=-1$ ， $a+b=\boxed{0}$ 。