看涨-看跌平价套利

Put-Call Arbitrage

专题: Finance / 金融
难度: L2
来源: QuantQuestion

个人笔记

题目详情

你可以交易：

股票 $S$ ，现价 $S_0=10$ ；
该股票的欧式看涨期权，现价 $C_0=4$ ；
该股票的欧式看跌期权，现价 $P_0=3$ ；

看涨与看跌的执行价均为 $K=4$ ，到期同为 $T$ 。

另可交易到期支付 1 的零息债券（bond）。假设利率为 0，因此债券现价为 1。

若允许做多/做空，找出套利组合，并用格式“#Stock + #Call + #Put + #Bonds”给出头寸数量。

英文原题

You have access to a stock with price $S_0 = 10$ , a European call on $S$ with price $C_0 = 4$ , a European put on $S$ with price $P_0 = 3$ , both at strike $K = 4$ , and bonds paying $1$ at time $T$ . Assume interest rates are $0$ . Find the arbitrage. You are allowed to long or short assets.

Give the answer in the format of $\text{\# Stock + \# Call + \# Put + \# Bonds}$ .

解析

利率为 0 时，看涨-看跌平价为

C_0+K\cdot B_0=P_0+S_0.

这里 $B_0=1$ ，所以应有 $C_0+4=P_0+10$ 。

但实际左边 $4+4=8$ ，右边 $3+10=13$ ，右边更贵。

因此套利：

买入便宜组合：1 份看涨 + 4 份债券；
卖出昂贵组合：1 份看跌 + 1 股股票。

初始现金流入： $13-8=5$ 。

到期时，两边的支付都等于 $\max(S_T,4)$ ，因此到期净支付为 0，锁定无风险利润。

所以头寸为

\boxed{-1\ \text{Stock} + 1\ \text{Call} - 1\ \text{Put} + 4\ \text{Bonds}}.

英文解析

When interest rate is 0, bullish - bearish parity is

C_0+K\cdot B_0=P_0+S_0.

Here $B_0=1$ , so there should be $C_0+4=P_0+10$ .

But it's actually $4+4=8$ on the left, $3+10=13$ on the right, and it's more expensive on the right.

Consequently arbitrage:

Buy Cheap Portfolio: 1 Bullish + 4 Bonds;
Sell an expensive portfolio: 1 put + 1 stock.

Initial cash inflow: $13-8=5$ .

At maturity, both payments are equal to $\max(S_T,4)$ , so the net payment due is 0, locking in risk-free profits.

So the position is

\boxed{-1\\text{Stock} + 1\\text{Call} - 1\\text{Put} + 4\\text{Bonds}}.