分院帽

The Picking Hat

专题: Brainteaser / 脑筋急转弯
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

帽子里有数字 1..100。每一轮，AJ 抽出一个数、记下，然后把该数放回帽子。

游戏结束时，AJ 最后一次写下的数字就是他获得的美元数。

AJ 可以玩任意多轮，但每多玩一轮需要支付 1 美元。

在最优策略下，这个游戏的公平价值（期望净收益）是多少？

A hat contains the numbers 1-100. The rules to the game are as follows. Each round, AJ draws a number out of the hat, writes it down, and puts the number back in the hat. The last number written down is the number of dollars awarded to AJ. AJ may play as many rounds as he would like, but each round costs $1. Assuming optimal play, what is the fair value of this game?

解析

最优策略是“阈值停”：抽到 $\ge x$ 就停，否则继续（继续一次要付 1）。

设阈值为 $x$ ，则抽到 $\ge x$ 的概率为 $p=\frac{101-x}{100}$ ，命中所需轮数期望为 $1/p$ 。

命中时的期望奖金额为 $\frac{x+100}{2}$ ，而每玩一轮要付 1（最后一轮也付），因此净收益期望可写并对整数 $x$ 比较。

计算可得最优阈值为 $x=87$ ，对应公平价值为

\boxed{\frac{1209}{14}}\approx 86.36.