几何个指数变量的最小值尾分布

31: Minimum of Random Number of Exponentials

专题: Statistics / 统计
难度: L4
来源: QuantQuestion

个人笔记

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令 $N$ 为参数为 $p$ 的几何随机变量（取值 $1,2,\dots$ ）。给定 $N=n$ 时，生成 $n$ 个相互独立的指数随机变量 $X_1,\dots,X_n\sim \mathrm{Exp}(1)$ 。

令 $W=\min(X_1,\dots,X_n)$ 。对 $t\in\mathbb{R}$ ，求 $P(W>t)$ 。

英文原题

Let $N$ be a geometric random variable with parameter $p$ .
Given $N = n$ , generate $n$ i.i.d. exponential random variables with rate 1:
$X_1, X_2, \dots, X_n \sim \text{Exp}(1)$ .

Let $W = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)$ be their minimum.
Compute $P(W > t)$ for $t \in \mathbb{R}$ .

解析

当 $t<0$ 时，指数变量总是 $\ge 0$ ，所以 $P(W>t)=1$ 。

当 $t\ge 0$ ：给定 $N=n$ ，

P(W>t\mid N=n)=P(X_1>t,\dots,X_n>t)=e^{-tn}.

对 $N$ 求期望（ $P(N=n)=p(1-p)^{n-1}$ ）：

P(W>t)=\sum_{n=1}^\infty p(1-p)^{n-1}e^{-tn} =\frac{pe^{-t}}{1-(1-p)e^{-t}},\quad t\ge 0.

英文解析

When $t<0$ , the exponential variable is always $\ge 0$ , so $P(W>t)=1$ .

When $t\ge 0$ : Given $N=n$ ,

P(W>t\mid N=n)=P(X_1>t,\dots,X_n>t)=e^{-tn}.

Expectations for $N$ ( $P(N=n)=p(1-p)^{n-1}$ ):

P(W>t)=\sum_{n=1}^\infty p(1-p)^{n-1}e^{-tn} =\frac{pe^{-t}}{1-(1-p)e^{-t}},\quad t\ge 0.