GBM 退出区间：先到 2 的概率

Let $X_{t}$ be the solution

Let $X_{t}$ be the solution of the stochastic differential equation

dX_{t} = \mu X_{t}dt + \sigma X_{t}dW_{t}

with $X_0 = 1$ . Let $\tau$ be the exit time of $X_{t}$ from the interval $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ . Compute $P(X_{\tau} = 2)$ .

解析

GBM： $dX_t=\mu X_tdt+\sigma X_tdW_t$ ， $X_0=1$ ，停时 $\tau$ 为首次离开 $(1/2,2)$ 。

取 $\alpha=1-\frac{2\mu}{\sigma^2}$ ，则 $X_t^{\alpha}$ 是鞅（当 $\alpha\ne 0$ ）。

令 $p=\mathbb{P}(X_\tau=2)$ ，则

1=\mathbb{E}[X_\tau^{\alpha}]=p\cdot 2^{\alpha}+(1-p)\cdot 2^{-\alpha}.

解得

\boxed{p=\frac{1-2^{-\alpha}}{2^{\alpha}-2^{-\alpha}}},\quad \alpha\ne 0.

若 $\alpha=0$ （即 $\mu=\sigma^2/2$ ），可用 $\log X_t$ 鞅，得到 $\boxed{p=1/2}$ 。