幂次鞅条件 For which is a martingale 专题 Probability / 概率 难度 L4 来源 QuantQuestion 收藏 标记掌握 个人笔记 题目详情 概率题：StαS_t^\alphaStα 何时是鞅。 英文原题 Suppose that dSt=μStdt+σStdWtdS_{t} = \mu S_{t}dt + \sigma S_{t}dW_{t}dSt=μStdt+σStdWt . For which α\alphaα is the process StαS_{t}^{\alpha}Stα a martingale? 解析 对 dSt=μStdt+σStdWtdS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_tdSt=μStdt+σStdWt，令 Yt=StαY_t=S_t^{\alpha}Yt=Stα。 Itô 得漂移项为 αStα(μ+α−12σ2)dt.\alpha S_t^{\alpha}\left(\mu+\frac{\alpha-1}{2}\sigma^2\right)dt.αStα(μ+2α−1σ2)dt. YtY_tYt 为鞅当且仅当漂移为 0： μ+α−12σ2=0⟹α=1−2μσ2.\mu+\frac{\alpha-1}{2}\sigma^2=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\alpha=1-\frac{2\mu}{\sigma^2}}.μ+2α−1σ2=0⟹α=1−σ22μ. （α=0\alpha=0α=0 也给出平凡鞅常数 1。） 英文解析 αStα(μ+α−12σ2)dt.\alpha S_t^{\alpha}\left(\mu+\frac{\alpha-1}{2}\sigma^2\right)dt.αStα(μ+2α−1σ2)dt. μ+α−12σ2=0⟹α=1−2μσ2.\mu+\frac{\alpha-1}{2}\sigma^2=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\alpha=1-\frac{2\mu}{\sigma^2}}.μ+2α−1σ2=0⟹α=1−σ22μ.