解 SDE： Solve the SDE 8 专题 Finance / 金融 难度 L4 来源 QuantQuestion 收藏 标记掌握 个人笔记 题目详情 金融数学题：解 SDE：dX=(α+βX)dWdX=(\alpha+\beta X)dWdX=(α+βX)dW。 英文原题 Solve the stochastic differential equation dXt=(α+βXt)dWt.dX_{t} = (\alpha + \beta X_{t}) dW_{t}.dXt=(α+βXt)dWt. 解析 令 Yt=ln(α+βXt)Y_t=\ln(\alpha+\beta X_t)Yt=ln(α+βXt)。 Itô 得 dYt=−β22dt+βdWt.dY_t=-\frac{\beta^2}{2}dt+\beta dW_t.dYt=−2β2dt+βdWt. 积分： ln(α+βXt)=ln(α+βX0)−β2t2+βWt.\ln(\alpha+\beta X_t)=\ln(\alpha+\beta X_0)-\frac{\beta^2 t}{2}+\beta W_t.ln(α+βXt)=ln(α+βX0)−2β2t+βWt. 因此 Xt=α+βX0βexp(βWt−β2t2)−αβ.\boxed{X_t=\frac{\alpha+\beta X_0}{\beta}\exp\left(\beta W_t-\frac{\beta^2 t}{2}\right)-\frac{\alpha}{\beta}}.Xt=βα+βX0exp(βWt−2β2t)−βα. 英文解析 dYt=−β22dt+βdWt.dY_t=-\frac{\beta^2}{2}dt+\beta dW_t.dYt=−2β2dt+βdWt. ln(α+βXt)=ln(α+βX0)−β2t2+βWt.\ln(\alpha+\beta X_t)=\ln(\alpha+\beta X_0)-\frac{\beta^2 t}{2}+\beta W_t.ln(α+βXt)=ln(α+βX0)−2β2t+βWt. Xt=α+βX0βexp(βWt−β2t2)−αβ.\boxed{X_t=\frac{\alpha+\beta X_0}{\beta}\exp\left(\beta W_t-\frac{\beta^2 t}{2}\right)-\frac{\alpha}{\beta}}.Xt=βα+βX0exp(βWt−2β2t)−βα.