Itô 积分

对 $f(x)=\tfrac13x^3$ 用 Itô：

$$d\left(\tfrac13W_s^3\right)=W_s^2 dW_s+W_s ds.$$

又由 $d(sW_s)=s dW_s+W_s ds$，得

$$\int_0^T W_s ds=T W_T-\int_0^T s dW_s.$$

合并可得恒等式

$$\boxed{\int_0^T W_s^2 dW_s=\frac{W_T^3}{3}-T W_T+\int_0^T s\,dW_s}.$$

其中 $\int_0^T s\,dW_s\sim N\left(0,\frac{T^3}{3}\right)$。

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英文解析

$$d\left(\tfrac13W_s^3\right)=W_s^2 dW_s+W_s ds.$$ $$\int_0^T W_s ds=T W_T-\int_0^T s dW_s.$$ $$\boxed{\int_0^T W_s^2 dW_s=\frac{W_T^3}{3}-T W_T+\int_0^T s\,dW_s}.$$