混合 Vasicek：股价与利率波动的关系

在随机利率下，常用在 $T$-远期测度下看 forward price $F_{t,T}=S_t/P(t,T)$。

若

$$\frac{dS_t}{S_t}=r_tdt+\sigma_S dW_t^S,\qquad dr_t=(\theta_t-\kappa r_t)dt+\sigma_r dW_t^r,$$

则零息债 $P(t,T)$ 的随机项等效为 $-B(t,T)\sigma_r dW_t^r$，其中

$$\boxed{B(t,T)=\frac{1-e^{-\kappa (T-t)}}{\kappa}}.$$

因此 forward 的总波动（在适当测度下）包含股波动与利率波动及相关项：

$$\boxed{\sigma_F^2=\sigma_S^2+\bigl(B(t,T)\sigma_r\bigr)^2-2\rho\,\sigma_S\,B(t,T)\sigma_r}.$$

这是“随机利率会改变股权远期/期权有效波动”的基本校准关系。