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OU 的均值与方差

Ornstein Uhlenbeck

专题
Probability / 概率
难度
L4

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Derive the formula of an Ornstein Uhlenbeck process. Calculate its expectation and variance.

解析

由 OU 显式解

Xt=X0e−θt+μ(1−e−θt)+σ∫0te−θ(t−s)dWs,X_t=X_0e^{-\theta t}+\mu(1-e^{-\theta t})+\sigma\int_0^t e^{-\theta(t-s)}dW_s,

可得

E[Xt]=X0e−θt+μ(1−e−θt),\boxed{\mathbb{E}[X_t]=X_0e^{-\theta t}+\mu(1-e^{-\theta t})},

并用 Itô 等距（isometry）得

Var⁡(Xt)=σ2∫0te−2θ(t−s)ds=σ22θ(1−e−2θt).\boxed{\operatorname{Var}(X_t)=\sigma^2\int_0^t e^{-2\theta(t-s)}ds =\frac{\sigma^2}{2\theta}(1-e^{-2\theta t})}.

当 t→∞t\to\infty，均值趋于 μ\mu，方差趋于 σ2/(2θ)\sigma^2/(2\theta)。