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布朗运动分布函数期望

Cumulative Brownian

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

金融数学题：E[Φ(Wt)]\mathbb{E}[\Phi(W_t)]。

英文原题

Calculate E(Φ(Wt))\mathbb{E}\left(\Phi \left(W_t\right)\right) where WtW_t a brownian motion and Φ\Phi the standard normal cumulative distribution.

解析

由对称性 Wt=d−WtW_t\overset{d}{=}-W_t：

E[Φ(Wt)]=E[Φ(−Wt)]=E[1−Φ(Wt)]=1−E[Φ(Wt)],\mathbb{E}[\Phi(W_t)]=\mathbb{E}[\Phi(-W_t)]=\mathbb{E}[1-\Phi(W_t)]=1-\mathbb{E}[\Phi(W_t)],

因此

E[Φ(Wt)]=12.\boxed{\mathbb{E}[\Phi(W_t)]=\frac12}.

英文解析

E[Φ(Wt)]=E[Φ(−Wt)]=E[1−Φ(Wt)]=1−E[Φ(Wt)],\mathbb{E}[\Phi(W_t)]=\mathbb{E}[\Phi(-W_t)]=\mathbb{E}[1-\Phi(W_t)]=1-\mathbb{E}[\Phi(W_t)], E[Φ(Wt)]=12.\boxed{\mathbb{E}[\Phi(W_t)]=\frac12}.