把函数写成均值 + Itô 积分

要求表示 $X_t=\mathbb{E}[X_t]+\int_0^t a(s)\,dB_s$。

i) $X_t=B_t^2$：Itô 得

$$B_t^2=t+\int_0^t 2B_s\,dB_s,$$

所以 $\mathbb{E}[X_t]=t$，$\boxed{a(s)=2B_s}$。

ii) $X_t=B_t^3$：可化为

$$B_t^3=\int_0^t \bigl(3B_s^2+3(t-s)\bigr)\,dB_s,$$

故 $\mathbb{E}[X_t]=0$，$\boxed{a(s)=3B_s^2+3(t-s)}$。

iii) $X_t=e^{B_t}$：利用 $e^{B_t-t/2}$ 为鞅，得

$$e^{B_t}=e^{t/2}+\int_0^t e^{(t-s)/2}e^{B_s}\,dB_s,$$

故 $\mathbb{E}[X_t]=e^{t/2}$，$\boxed{a(s)=e^{(t-s)/2}e^{B_s}}$。

iv) $X_t=\sin B_t$：$e^{t/2}\sin B_t$ 为鞅，得

$$\sin B_t=\int_0^t e^{-(t-s)/2}\cos B_s\,dB_s,$$

故 $\mathbb{E}[X_t]=0$，$\boxed{a(s)=e^{-(t-s)/2}\cos B_s}$。

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英文解析

$$B_t^2=t+\int_0^t 2B_s\,dB_s,$$ $$B_t^3=\int_0^t \bigl(3B_s^2+3(t-s)\bigr)\,dB_s,$$ $$e^{B_t}=e^{t/2}+\int_0^t e^{(t-s)/2}e^{B_s}\,dB_s,$$ $$\sin B_t=\int_0^t e^{-(t-s)/2}\cos B_s\,dB_s,$$