期权定价

在 $\mathbb{P}$ 下设

$$\frac{dS_t}{S_t}=\mu dt+\sigma dW_t.$$

用 Girsanov 定理构造测度变换，使得

$$W_t^*=W_t+\frac{\mu-r}{\sigma}t$$

成为 $\mathbb{Q}$ 下布朗运动，从而在 $\mathbb{Q}$ 下

$$\frac{dS_t}{S_t}=r dt+\sigma dW_t^*.$$

于是

$$C_0=e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[(S_T-K)^+] =S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2).$$

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英文解析

$$\frac{dS_t}{S_t}=\mu dt+\sigma dW_t.$$ $$W_t^*=W_t+\frac{\mu-r}{\sigma}t$$ $$\frac{dS_t}{S_t}=r dt+\sigma dW_t^*.$$ $$C_0=e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[(S_T-K)^+] =S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2).$$