高波动/长到期下 straddle 的极限

关键恒等式：

$$|X-K|=X+K-2\min(X,K).$$

在 Black–Scholes（无分红）下，贴现后的股票 $X:=e^{-rT}S_T$ 满足 $\mathbb{E}[X]=S_0$。

对任意固定样本点 $Z$，

$$X=S_0\exp\left(\sigma\sqrt{T}Z-\tfrac12\sigma^2T\right)\xrightarrow[\sigma\sqrt{T}\to\infty]{}0$$

（指数里的二次项 $-\tfrac12\sigma^2T$ 主导，因此趋于 $-\infty$，不是 $+\infty$）。于是 $\min(X,S_0)\to 0$ 且由 $0\le \min(X,S_0)\le X$ 可得

$$\mathbb{E}[\min(X,S_0)]\to 0.$$

对 ATM-forward straddle（$K=S_0$）有

$$\mathbb{E}|X-S_0|=\mathbb{E}[X]+S_0-2\mathbb{E}[\min(X,S_0)]\to S_0+S_0.$$

因此其价格极限为

$$\boxed{\lim_{\sigma\sqrt{T}\to\infty}\mathbb{E}\bigl|e^{-rT}S_T-S_0\bigr|=2S_0}.$$