永续美式 put 的价值

无分红 GBM：$dS=(r)Sdt+\sigma S dW$。永续美式 put 的最优策略是：当 $S$ 低于某个阈值 $S^*$ 立即行权。

在继续持有区间 $S>S^*$，价值满足常微分方程

$$\frac12\sigma^2S^2V''+rSV'-rV=0.$$

设 $V(S)=A S^{m}$，得到特征方程

$$\frac12\sigma^2 m(m-1)+rm-r=0.$$

取负根 $m<0$（保证 $S\to\infty$ 时 $V\to 0$）：

$$\boxed{m=\frac{-(r-\tfrac12\sigma^2)-\sqrt{(r-\tfrac12\sigma^2)^2+2r\sigma^2}}{\sigma^2}}<0.$$

平滑贴合条件 $V(S^*)=K-S^*$、$V'(S^*)=-1$ 解得

$$\boxed{S^*=\frac{m}{m-1}K},$$

并且

$$\boxed{V(S)=\begin{cases} K-S, & S\le S^*,\\ (K-S^*)\left(\frac{S}{S^*}\right)^{m}, & S>S^*. \end{cases}}$$