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正态 vs 对数正态：digital 价格差异

How will the prices differ

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

Suppose we price a digital call in both normal and lognormal models in such a way that the price of call option with the same strike is invariant. How will the prices differ?

解析

数字 call 可由 call spread 极限复制：

Digital(K)=−∂C∂K.\text{Digital}(K)= -\frac{\partial C}{\partial K}.

若用隐含波动率曲面 σ^(K)\hat\sigma(K) 进行 BS 估值，则

−∂∂KBS(K,σ^)=−∂BS∂K−∂BS∂σ∂σ^∂K.-\frac{\partial}{\partial K}BS(K,\hat\sigma)= -\frac{\partial BS}{\partial K}-\frac{\partial BS}{\partial\sigma}\frac{\partial\hat\sigma}{\partial K}.

第二项为 smile/skew 修正：因为 vega ∂BS/∂σ>0\partial BS/\partial\sigma>0，

  • 若 ∂σ^/∂K<0\partial\hat\sigma/\partial K<0（负 skew），则数字 call 价格 上升
  • 若 ∂σ^/∂K>0\partial\hat\sigma/\partial K>0（正 skew），则数字 call 价格 下降

而正态（Bachelier）模型可以粗略看作“对数正态的 σ∝1/S\sigma\propto 1/S”，当 SS 下跌时等效波动率上升，倾向产生负 skew，因此通常会使数字 call 相对更贵。