正态 vs 对数正态

数字 call 可由 call spread 极限复制：

$$\text{Digital}(K)= -\frac{\partial C}{\partial K}.$$

若用隐含波动率曲面 $\hat\sigma(K)$ 进行 BS 估值，则

$$-\frac{\partial}{\partial K}BS(K,\hat\sigma)= -\frac{\partial BS}{\partial K}-\frac{\partial BS}{\partial\sigma}\frac{\partial\hat\sigma}{\partial K}.$$

第二项为 smile/skew 修正：因为 vega $\partial BS/\partial\sigma>0$，

• 若 $\partial\hat\sigma/\partial K<0$（负 skew），则数字 call 价格 上升
• 若 $\partial\hat\sigma/\partial K>0$（正 skew），则数字 call 价格 下降

而正态（Bachelier）模型可以粗略看作“对数正态的 $\sigma\propto 1/S$”，当 $S$ 下跌时等效波动率上升，倾向产生负 skew，因此通常会使数字 call 相对更贵。

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英文解析

$$\text{Digital}(K)= -\frac{\partial C}{\partial K}.$$ $$-\frac{\partial}{\partial K}BS(K,\hat\sigma)= -\frac{\partial BS}{\partial K}-\frac{\partial BS}{\partial\sigma}\frac{\partial\hat\sigma}{\partial K}.$$