down-and-out / down-and-in 的价值曲线

Value as a function

专题: Finance / 金融
难度: L4
来源: QuantQuestion

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Suppose a call option only pays off if spot never passes below a barrier B. Sketch the value as a function of spot. Now suppose the option only pays off if spot passes below B instead. Sketch the value of the option again. Relate the two graphs.

解析

设下障碍为 $B$ 。

down-and-out call：当 $S\le B$ 时价值为 0；当 $S$ 远高于 $B$ 时形状接近 vanilla call，单调递增。
down-and-in call：当 $S\le B$ 附近价值较小；在某些区间会呈“驼峰”（因为既要先敲入又要最终 ITM）。

两者满足经典平价：

\boxed{\text{out} + \text{in} = \text{vanilla}}.

所以两条曲线逐点相加应得到普通 call 的价格曲线。