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正态模型下 ATM call 的期望

Expected value of at-the-money

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

If the stock price at time TT is distributed as N(S0,σ2)N\left(S_{0}, \sigma^{2}\right) what is the expected value of an at- the- money European call expiring at time TT ?

解析

在 Bachelier（正态）模型下，若到期

ST=S0+σZ,Z∼N(0,1),S_T=S_0+\sigma Z,\quad Z\sim N(0,1),

且 ATM：K=S0K=S_0，则

C=E[(ST−K)+]=E[(σZ)+]=σ E[Z+].C=\mathbb{E}[(S_T-K)^+]=\mathbb{E}[(\sigma Z)^+]=\sigma\,\mathbb{E}[Z^+].

而 E[Z+]=∫0∞xφ(x)dx=12π\mathbb{E}[Z^+]=\int_0^{\infty}x\varphi(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}，所以

C=σ2π≈0.4 σ.\boxed{C=\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\approx 0.4\,\sigma}.