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幂次 Call

European-style power call

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

金融数学题：幂次 call：max⁡(Sα−X,0)\max(S^\alpha-X,0)。

英文原题

The payoff to a European- style "power call" is given by max (Sα−X,0)(S^{\alpha} - X,0) . Derive the price of a European power call option using Black- Scholes pricing.

解析

设 τ=T−t\tau=T-t，K=X1/αK=X^{1/\alpha}。

在 Black–Scholes（无分红）下，幂次 call 的价格可写为

c(t)=S(t)αemτN(d1′)−e−rτX N(d2′),\boxed{c(t)=S(t)^\alpha e^{m\tau}N(d_1')-e^{-r\tau}X\,N(d_2')},

其中

m=(r+ασ22)(α−1),m=\left(r+\frac{\alpha\sigma^2}{2}\right)(\alpha-1), d1′=ln⁡(S(t)K)+(r+(α−12)σ2)τστ,qquadd2′=d1′−αστ.d_1'=\frac{\ln\left(\frac{S(t)}{K}\right)+\left(r+\left(\alpha-\frac12\right)\sigma^2\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}, \\qquad d_2'=d_1'-\alpha\sigma\sqrt{\tau}.

当 α=1\alpha=1 时退化为标准欧式 call 公式。

英文解析

c(t)=S(t)αemτN(d1′)−e−rτX N(d2′),\boxed{c(t)=S(t)^\alpha e^{m\tau}N(d_1')-e^{-r\tau}X\,N(d_2')}, m=(r+ασ22)(α−1),m=\left(r+\frac{\alpha\sigma^2}{2}\right)(\alpha-1), d1′=ln⁡(S(t)K)+(r+(α−12)σ2)τστ,qquadd2′=d1′−αστ.d_1'=\frac{\ln\left(\frac{S(t)}{K}\right)+\left(r+\left(\alpha-\frac12\right)\sigma^2\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}, \\qquad d_2'=d_1'-\alpha\sigma\sqrt{\tau}.