波动率趋于无穷

在 Black–Scholes（无分红 $q=0$）下

$$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\frac12\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}},\ d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}.$$

当 $\sigma\to\infty$ 时，$d_1\to +\infty$、$d_2\to -\infty$，所以 $N(d_1)\to 1$、$N(d_2)\to 0$，从而

$$\boxed{\lim_{\sigma\to\infty} C = S_0}$$

（若有分红率 $q$，则极限为 $S_0e^{-qT}$）。

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英文解析

$$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\frac12\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}},\ d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}.$$ $$\boxed{\lim_{\sigma\to\infty} C = S_0}$$