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命中 aa 或 bb 的期望时间

Expected time for brownian

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

What is the expected time for Brownian motion to hit aa or bb , where aa and bb are two real numbers that satisfy a<0<ba < 0 < b ?

解析

设 a<0<ba<0<b，停时 T=min⁡(Ta,Tb)T=\min(T_a,T_b)。

Mt=Wt2−tM_t=W_t^2-t 是鞅，故

0=E[MT]=E[WT2]−E[T]⇒E[T]=E[WT2].0=\mathbb{E}[M_T]=\mathbb{E}[W_T^2]-\mathbb{E}[T]\Rightarrow \mathbb{E}[T]=\mathbb{E}[W_T^2].

而 WT∈{a,b}W_T\in\{a,b\}，且

P(WT=b)=−ab−a,P(WT=a)=bb−a.\mathbb{P}(W_T=b)=\frac{-a}{b-a},\quad \mathbb{P}(W_T=a)=\frac{b}{b-a}.

于是

E[T]=b2−ab−a+a2bb−a=−ab.\mathbb{E}[T]=b^2\frac{-a}{b-a}+a^2\frac{b}{b-a}=-ab.

即

E[T]=−ab.\boxed{\mathbb{E}[T]=-ab}.