布朗运动最后一次过零时刻

Last zero of the Brownian

Let $L_{t}$ be the time of the last zero of the Brownian motion before time $t$ . Find the distribution of $L_{t}$ .

解析

令 $L_t$ 为在 $[0,t]$ 内布朗运动最后一次取 0 的时间，则 $L_t/t$ 服从经典反正弦分布（arcsine law）。

其分布函数可写为：对 $0\le s\le t$ ，

\boxed{\mathbb{P}(L_t\le s)=\frac{2}{\pi}\arctan\sqrt{\frac{s}{t-s}}= \frac{2}{\pi}\arcsin\sqrt{\frac{s}{t}}}.