先到 还是 Brownian probability 专题 Finance / 金融 难度 L4 来源 QuantQuestion 收藏 标记掌握 个人笔记 题目详情 金融数学题：先到 aaa 还是 bbb。 英文原题 If a<0<ba< 0< ba<0<b , what is the probability that the Brownian motion hits level aaa before level bbb ? 解析 设 a<0<ba<0<ba<0<b，从 0 出发，令 Ta,TbT_a,T_bTa,Tb 为首次命中 a,ba,ba,b 的时间。 由于 WtW_tWt 是鞅，对停时 T=min(Ta,Tb)T=\min(T_a,T_b)T=min(Ta,Tb) 用可选停止： 0=E[WT]=a P(Ta<Tb)+b P(Tb<Ta).0=\mathbb{E}[W_T]=a\,\mathbb{P}(T_a<T_b)+b\,\mathbb{P}(T_b<T_a).0=E[WT]=aP(Ta<Tb)+bP(Tb<Ta). 解得 P(Ta<Tb)=bb−a,qquadP(Tb<Ta)=−ab−a.\boxed{\mathbb{P}(T_a<T_b)=\frac{b}{b-a}},\\qquad \boxed{\mathbb{P}(T_b<T_a)=\frac{-a}{b-a}}.P(Ta<Tb)=b−ab,qquadP(Tb<Ta)=b−a−a. 英文解析 0=E[WT]=a P(Ta<Tb)+b P(Tb<Ta).0=\mathbb{E}[W_T]=a\,\mathbb{P}(T_a<T_b)+b\,\mathbb{P}(T_b<T_a).0=E[WT]=aP(Ta<Tb)+bP(Tb<Ta). P(Ta<Tb)=bb−a,qquadP(Tb<Ta)=−ab−a.\boxed{\mathbb{P}(T_a<T_b)=\frac{b}{b-a}},\\qquad \boxed{\mathbb{P}(T_b<T_a)=\frac{-a}{b-a}}.P(Ta<Tb)=b−ab,qquadP(Tb<Ta)=b−a−a.