几何布朗：$S_t^2$ 的过程

若 $S_t$ 为对数正态布朗运动（几何布朗运动）

$$dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t,$$

令 $Y_t=S_t^2$，对 $f(x)=x^2$ 用 Itô 公式：

$$dY_t=2S_t\,dS_t+(dS_t)^2.$$

又 $(dS_t)^2=\sigma^2 S_t^2\,dt=\sigma^2 Y_t\,dt$，代入得

$$dY_t=(2\mu+\sigma^2)Y_t\,dt+2\sigma Y_t\,dW_t.$$

因此 $Y_t$ 仍是几何布朗运动，漂移参数变为 $2\mu+\sigma^2$，波动率变为 $2\sigma$。