布朗运动：已知 $X_1>0$ 时 $X_2<0$ 的概率

令 $X_t$ 为标准布朗运动，给定 $X_1>0$。

增量 $X_2-X_1$ 与 $X_1$ 独立且同分布于 $N(0,1)$，因此：

• $X_2<0$ 必须满足 $X_2-X_1<0$，其概率为 $1/2$
• 还需 $|X_2-X_1|>|X_1|$（负向跳跃幅度超过当前正值）

由于 $X_1$ 与 $X_2-X_1$ 同分布且独立，比较两个独立同分布随机变量的绝对值，大者概率为 $1/2$。

因此

$$\boxed{\mathbb{P}(X_2<0\mid X_1>0)=\frac12\cdot\frac12=\frac14}.$$