掷 n 面骰 What is the expected number of rolls until the sum is a multiple of nnn for the first time? 专题 Probability / 概率 难度 L4 来源 QuantQuestion 收藏 标记掌握 个人笔记 题目详情 概率题：掷 n 面骰：和首次成为 n 的倍数的期望。 英文原题 You roll a fair nnn - sided die repeatedly and sum the outcomes. What is the expected number of rolls until the sum is a multiple of nnn for the first time? 解析 令 NNN 为首次使得 SN≡0(modn)S_N\equiv 0\pmod nSN≡0(modn) 的掷骰次数。 若当前 Sk≢0(modn)S_k\not\equiv 0\pmod nSk≡0(modn)，则存在唯一的点数能在下一次把余数补到 0，因此 P(N>k+1∣N>k)=1−1n.\mathbb{P}(N>k+1\mid N>k)=1-\frac{1}{n}.P(N>k+1∣N>k)=1−n1. 且 P(N>1)=1−1n\mathbb{P}(N>1)=1-\tfrac1nP(N>1)=1−n1，从而 P(N>k)=(1−1n)k.\mathbb{P}(N>k)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^k.P(N>k)=(1−n1)k. 利用尾和公式： E[N]=∑k=0∞P(N>k)=∑k=0∞(1−1n)k=n.\mathbb{E}[N]=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(N>k)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k=\boxed{n}.E[N]=k=0∑∞P(N>k)=k=0∑∞(1−n1)k=n. 英文解析 P(N>k+1∣N>k)=1−1n.\mathbb{P}(N>k+1\mid N>k)=1-\frac{1}{n}.P(N>k+1∣N>k)=1−n1. P(N>k)=(1−1n)k.\mathbb{P}(N>k)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^k.P(N>k)=(1−n1)k. E[N]=∑k=0∞P(N>k)=∑k=0∞(1−1n)k=n.\mathbb{E}[N]=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(N>k)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k=\boxed{n}.E[N]=k=0∑∞P(N>k)=k=0∑∞(1−n1)k=n.