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掷 n 面骰：和首次成为 n 的倍数的期望

What is the expected number of rolls until the sum is a multiple of nn for the first time?

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

You roll a fair nn - sided die repeatedly and sum the outcomes. What is the expected number of rolls until the sum is a multiple of nn for the first time?

解析

令 NN 为首次使得 SN≡0(modn)S_N\equiv 0\pmod n 的掷骰次数。

若当前 Sk≢0(modn)S_k\not\equiv 0\pmod n，则存在唯一的点数能在下一次把余数补到 0，因此

P(N>k+1∣N>k)=1−1n.\mathbb{P}(N>k+1\mid N>k)=1-\frac{1}{n}.

且 P(N>1)=1−1n\mathbb{P}(N>1)=1-\tfrac1n，从而

P(N>k)=(1−1n)k.\mathbb{P}(N>k)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^k.

利用尾和公式：

E[N]=∑k=0∞P(N>k)=∑k=0∞(1−1n)k=n.\mathbb{E}[N]=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(N>k)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k=\boxed{n}.