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三点随机：含 (1,0) 的弧长期望

弧长的期望

专题
Probability / 概率
难度
L4

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Three points are chosen uniformly at random on the circle x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 . What is the expected length of the arc that contains the point (1,0)(1,0)

解析

把圆周参数化为角度，三点对应 Ai∼Unif[0,2π)A_i\sim\mathrm{Unif}[0,2\pi) 独立。

等价地令 Xi=Ai/(2π)∼Unif[0,1)X_i=A_i/(2\pi)\sim\mathrm{Unif}[0,1)。包含点 (1,0)(1,0) 的弧长为

L=2πmin⁡(X1,X2,X3)+2π(1−max⁡(X1,X2,X3)).L=2\pi\min(X_1,X_2,X_3)+2\pi\bigl(1-\max(X_1,X_2,X_3)\bigr).

由对称性 E[min⁡]=E[1−max⁡]\mathbb{E}[\min]=\mathbb{E}[1-\max]，所以

E[L]=4π E[min⁡(X1,X2,X3)].\mathbb{E}[L]=4\pi\,\mathbb{E}[\min(X_1,X_2,X_3)].

而 E[min⁡(X1,X2,X3)]=14\mathbb{E}[\min(X_1,X_2,X_3)]=\frac{1}{4}，因此

E[L]=π.\boxed{\mathbb{E}[L]=\pi}.