整数型随机变量的尾和公式 正整数随机变量 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Let NNN be a random variable whose values are positive integers. Prove that E[N]=∑i=n∞P(N>i)\mathbb{E}[N] = \sum_{i = n}^{\infty} \mathbb{P}(N > i)E[N]=i=n∑∞P(N>i) 解析 若 NNN 取正整数值，则 E[N]=∑k=1∞k P(N=k).\mathbb{E}[N]=\sum_{k=1}^{\infty} k\,\mathbb{P}(N=k).E[N]=k=1∑∞kP(N=k). 把每一项 k P(N=k)k\,\mathbb{P}(N=k)kP(N=k) 展开为 kkk 个 P(N=k)\mathbb{P}(N=k)P(N=k) 并按“列”求和，可得 E[N]=P(N>0)+P(N>1)+P(N>2)+⋯=∑i=0∞P(N>i).\mathbb{E}[N]=\mathbb{P}(N>0)+\mathbb{P}(N>1)+\mathbb{P}(N>2)+\cdots =\sum_{i=0}^{\infty}\mathbb{P}(N>i).E[N]=P(N>0)+P(N>1)+P(N>2)+⋯=i=0∑∞P(N>i).