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相关系数下界

最小的相关系数

专题
General / 综合
难度
L4

题目详情

量化面试题：已知与 Z 的相关：corr(X,Y) 的最小值。

英文原题

What is the smallest value that corr⁡(X,Y)\operatorname {corr}(X,Y) can have if it is known that there exists a random variable ZZ such that corr⁡(X,Z)=α\operatorname {corr}(X,Z) = \alpha and corr⁡(Y,Z)=β\operatorname {corr}(Y,Z) = \beta ?

解析

设标准化后 A,B,CA,B,C 均值 0 方差 1，且 E[AC]=α\mathbb{E}[AC]=\alpha、E[BC]=β\mathbb{E}[BC]=\beta。

写分解：

A=αC+(A−αC),qquadB=βC+(B−βC),A=\alpha C+(A-\alpha C),\\qquad B=\beta C+(B-\beta C),

其中 (A−αC)(A-\alpha C) 与 CC 不相关，(B−βC)(B-\beta C) 与 CC 不相关。

于是

E[AB]=αβ+E[(A−αC)(B−βC)].\mathbb{E}[AB]=\alpha\beta+\mathbb{E}[(A-\alpha C)(B-\beta C)].

由 Cauchy–Schwarz：

E[(A−αC)(B−βC)]≥−E[(A−αC)2]E[(B−βC)2]=−1−α21−β2.\mathbb{E}[(A-\alpha C)(B-\beta C)]\ge -\sqrt{\mathbb{E}[(A-\alpha C)^2]}\sqrt{\mathbb{E}[(B-\beta C)^2]} =-\sqrt{1-\alpha^2}\sqrt{1-\beta^2}.

因此最小可能相关为

αβ−1−α2 1−β2.\boxed{\alpha\beta-\sqrt{1-\alpha^2}\,\sqrt{1-\beta^2}}.

英文解析

A=αC+(A−αC),qquadB=βC+(B−βC),A=\alpha C+(A-\alpha C),\\qquad B=\beta C+(B-\beta C), E[AB]=αβ+E[(A−αC)(B−βC)].\mathbb{E}[AB]=\alpha\beta+\mathbb{E}[(A-\alpha C)(B-\beta C)]. E[(A−αC)(B−βC)]≥−E[(A−αC)2]E[(B−βC)2]=−1−α21−β2.\mathbb{E}[(A-\alpha C)(B-\beta C)]\ge -\sqrt{\mathbb{E}[(A-\alpha C)^2]}\sqrt{\mathbb{E}[(B-\beta C)^2]} =-\sqrt{1-\alpha^2}\sqrt{1-\beta^2}. αβ−1−α2 1−β2.\boxed{\alpha\beta-\sqrt{1-\alpha^2}\,\sqrt{1-\beta^2}}.