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二元正态：

二元正态分布计算

专题
Algorithmic Programming / 算法编程
难度
L4

题目详情

编程题：二元正态：E[eX∣Y=y0]\mathbb{E}[e^X\mid Y=y_0]。

英文原题

Assume that XX and YY are bivariate normal random variables with mean 0 and covariance matrix Σ=[1ρρ1]\Sigma = \left[ \begin{array}{cc}1 & \rho \\ \rho & 1 \end{array} \right] . Evaluate E[eX∣Y=y0]\mathbb{E}\left[e^{X} \mid Y = y_{0}\right]

解析

对 (X,Y)(X,Y) 二元正态，X∣(Y=y0)X\mid(Y=y_0) 仍为正态：

X∣Y=y0∼N(ρy0, 1−ρ2).X\mid Y=y_0\sim N(\rho y_0,\ 1-\rho^2).

因此

E[eX∣Y=y0]=exp⁡(ρy0+1−ρ22).\mathbb{E}[e^X\mid Y=y_0]=\exp\left(\rho y_0+\frac{1-\rho^2}{2}\right).

英文解析

X∣Y=y0∼N(ρy0, 1−ρ2).X\mid Y=y_0\sim N(\rho y_0,\ 1-\rho^2). E[eX∣Y=y0]=exp⁡(ρy0+1−ρ22).\mathbb{E}[e^X\mid Y=y_0]=\exp\left(\rho y_0+\frac{1-\rho^2}{2}\right).