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等相关矩阵：相关系数 ρ 的可行范围

对角线矩阵

专题
Algorithmic Programming / 算法编程
难度
L4

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The correlation matrix of nn random variables has all the off- diagonal entries equal to ρ\rho . What are the possible values for ρ\rho ?

解析

等相关矩阵

Q=(1−ρ)I+ρJQ=(1-\rho)I+\rho J

的特征值为：

  • 1−ρ1-\rho（重数 n−1n-1）
  • 1+(n−1)ρ1+(n-1)\rho（重数 1）

要使其为相关矩阵需半正定，因此两者非负：

1−ρ≥0⇒ρ≤1,1-\rho\ge 0\Rightarrow \rho\le 1, 1+(n−1)ρ≥0⇒ρ≥−1n−1.1+(n-1)\rho\ge 0\Rightarrow \rho\ge -\frac{1}{n-1}.

所以

−1n−1≤ρ≤1.\boxed{-\frac{1}{n-1}\le \rho\le 1}.