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二元正态概率

联合分布概率计算

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

概率题：相关正态：P(X≥0,Y≥0)P(X\ge 0,Y\ge 0)。

英文原题

Assume that XX and YY have joint normal distribution, that each of X,Y∼N(0,1)X,Y\sim N(0,1) and that their correlation is 12\frac{1}{2} . Calculate P(X≥0,Y≥0)\mathbb{P}(X\geq 0,Y\geq 0) .

解析

对二维标准正态且相关系数为 ρ\rho，有经典公式

P(X≥0,Y≥0)=14+arcsin⁡(ρ)2π.\mathbb{P}(X\ge 0,Y\ge 0)=\frac14+\frac{\arcsin(\rho)}{2\pi}.

取 ρ=1/2\rho=1/2，arcsin⁡(1/2)=π/6\arcsin(1/2)=\pi/6，所以

P(X≥0,Y≥0)=14+112=13.\boxed{\mathbb{P}(X\ge 0,Y\ge 0)=\frac14+\frac{1}{12}=\frac13}.

英文解析

P(X≥0,Y≥0)=14+arcsin⁡(ρ)2π.\mathbb{P}(X\ge 0,Y\ge 0)=\frac14+\frac{\arcsin(\rho)}{2\pi}. P(X≥0,Y≥0)=14+112=13.\boxed{\mathbb{P}(X\ge 0,Y\ge 0)=\frac14+\frac{1}{12}=\frac13}.