两两正相关是否推出第三对也正相关

Let $X,Y$ , and $Z$ be three normal random variables. If $\rho_{X,Y} > 0$ and $\rho_{Y,Z} > 0$ , do we necessarily have $\rho_{X,Z} > 0$ ?

解析

不一定。

构造反例：取 $0<\alpha<1/2$ ，令相关（协方差）矩阵

A=\begin{pmatrix} 1 & \alpha & -\alpha\\ \alpha & 1 & \alpha\\ -\alpha & \alpha & 1 \end{pmatrix}.

可验证 $A$ 为半正定（例如写成平方和分解），因此存在三元正态 $(X,Y,Z)$ 具有该相关矩阵。

此时

\rho_{X,Y}=\rho_{Y,Z}=\alpha>0,\qquad \rho_{X,Z}=-\alpha<0.

所以 $\boxed{\rho_{X,Y}>0\text{ 且 }\rho_{Y,Z}>0\nRightarrow \rho_{X,Z}>0}$ 。