无限方差分布示例与中心极限定理

一个典型例子是 Cauchy 分布，密度

$$f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}.$$

它的二阶矩（甚至一阶矩）都不存在，因此方差为无穷。

中心极限定理（CLT）的一种常见表述：若 $X_1,\ldots$ i.i.d. 且 $\mathbb{E}[X_i]=\mu$、$\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty$，则

$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\Rightarrow N(0,1).$$

注意：像 Cauchy 这类“方差不存在”的分布不满足经典 CLT 的条件。

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英文解析

$$f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}.$$ $$\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\Rightarrow N(0,1).$$