蒙特卡洛估计

在正方形 $[-1,1]^2$ 上均匀采样 $N$ 个点 $(X_i,Y_i)$。

令指示变量 $I_i=\mathbf{1}\{X_i^2+Y_i^2\le 1\}$，则 $\mathbb{E}[I_i]=\frac{\text{单位圆面积}}{\text{正方形面积}}=\frac{\pi}{4}$。

因此

$$\hat\pi=4\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N I_i$$

是 $\pi$ 的无偏估计，并且由大数定律 $\hat\pi\to\pi$。

误差量级由中心极限定理给出：标准误差约为 $O(N^{-1/2})$。

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英文解析

$$\hat\pi=4\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N I_i$$