与 的近似与误差

常用近似是泰勒展开。

(1) $e^x$：

$$e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+R_{n+1}(x),$$

其中拉格朗日余项满足

$$|R_{n+1}(x)|=\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}|x|^{n+1}\le \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}$$

（$\xi$ 介于 0 与 $x$ 之间）。

(2) $\ln x$：常在 $x=1$ 附近写 $x=1+u$：

$$\ln(1+u)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{u^k}{k}+R_{n+1}(u),\quad |u|<1.$$

当 $u\in(0,1)$ 时为交错级数，误差可用下一项界定：

$$|R_{n+1}(u)|\le \frac{u^{n+1}}{n+1}.$$

更一般的 $\ln x$ 可通过缩放把 $x$ 变到接近 1（例如用 $\ln x=\ln(2^m\cdot y)=m\ln 2+\ln y$ 使 $y\in(1/2,1]$），再用上述级数近似。

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英文解析

(1) $e^x$：

$$e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+R_{n+1}(x),$$ $$|R_{n+1}(x)|=\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}|x|^{n+1}\le \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}$$ $$\ln(1+u)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac{u^k}{k}+R_{n+1}(u),\quad |u|<1.$$ $$|R_{n+1}(u)|\le \frac{u^{n+1}}{n+1}.$$