微分方程：

分离变量：

$$\frac{f'}{f(1-f)}=1.$$

对 $f$ 做部分分式分解：

$$\frac{1}{f(1-f)}=\frac{1}{f}+\frac{1}{1-f}.$$

积分得

$$\ln|f|-\ln|1-f|=x+C.$$

即

$$\frac{f}{1-f}=Ce^{x}\Rightarrow f=\frac{1}{1+A e^{-x}}.$$

其中 $A=1/C$ 为常数。

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英文解析

Separation of variables:
$$\frac{f'}{f(1-f)}=1.$$
Perform partial fraction decomposition on $f$:
$$\frac{1}{f(1-f)}=\frac{1}{f}+\frac{1}{1-f}.$$
Integrating gives
$$\ln|f|-\ln|1-f|=x+C.$$
That is,
$$\frac{f}{1-f}=Ce^{x}\Rightarrow f=\frac{1}{1+A e^{-x}}.$$
where $A=1/C$ is a constant.