微分方程：f′=f(1−f)f'=f(1-f)f′=f(1−f) 微分方程 1 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Find f(x)f(x)f(x) such that f′(x)=f(x)(1−f(x)).f^{\prime}(x) = f(x)(1 - f(x)).f′(x)=f(x)(1−f(x)). 解析 分离变量： f′f(1−f)=1.\frac{f'}{f(1-f)}=1.f(1−f)f′=1. 对 fff 做部分分式分解： 1f(1−f)=1f+11−f.\frac{1}{f(1-f)}=\frac{1}{f}+\frac{1}{1-f}.f(1−f)1=f1+1−f1. 积分得 ln∣f∣−ln∣1−f∣=x+C.\ln|f|-\ln|1-f|=x+C.ln∣f∣−ln∣1−f∣=x+C. 即 f1−f=Cex⇒f=11+Ae−x.\frac{f}{1-f}=Ce^{x}\Rightarrow f=\frac{1}{1+A e^{-x}}.1−ff=Cex⇒f=1+Ae−x1. 其中 A=1/CA=1/CA=1/C 为常数。